referat, referate , referat romana, referat istorie, referat geografie, referat fizica, referat engleza, referat chimie, referat franceza, referat biologie
 
Astronomie Istorie Marketing Matematica
Medicina Psihologie Religie Romana
Arte Plastice Spaniola Mecanica Informatica
Germana Biologie Chimie Diverse
Drept Economie Engleza Filozofie
Fizica Franceza Geografie Educatie Fizica
 

Progresii aritmetice si geometrice

Categoria: Referat Matematica

Descriere:

Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie...

Varianta Printabila 


1 PROGRESII  ARITMETICE



1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r ” ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .

An+1 = An + r

2.NOTATIE : An -:

3.PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu                primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.
 
                           An = A1 + (n-1) * r

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .
                           
              A1 + An  = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1




P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .

                            Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2

P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :

                             Sn = (A1 + An) *n / 2

P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :

                             Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2

4.APLICATII

1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat  de formula :

An = 2(la puterea „-n “)
A0 = 2(la puterea  „0“) = 1
A1 = 2(la puterea „-1“) = 1/2
    A2 = 2(la puterea  „-2“) = 1/4
    A3 = 2(la puterea  „-3“) = 1/8
    A4 = 2(la puterea  „-4“) = 1/16
    A5 = 2(la puterea  „-5“) = 1/32

Xn = 5+4*n
X0 = 5         X3 = 17
X1 = 9         X4 = 21  
X2 = 13      X5 = 25

2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :

1, 3, 5, 7, 9, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n -1
2, 4, 6, 8, 10, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
3, -3, 3, -3, … ;  => An = 3* (-1)(la puterea n)
1/3, 1/9, 1/27, 1/81, … ;  => An = 1/3(la puterea n)

3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :

-102  (DA)
6- 4*n = -102  => 4*n = 108  => n = 27
-132  (NU)
6- 4*n = -132  => 4*n = 138  => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
100
6- 4*n = 100  => 4*n = -94  => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)

7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :

A1 = 7 , r = 2
A2 = A1 + r = 9
A3 = 11
A4 = 13
A1 = -3 , r = 5
A2 = A1 + r = 2
A3 = 7
A4 = 12

16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :

1 + 7 + 13 + … +X = 280
An = A1 + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n -5
Sn = (A1 + An)*n/2 = 280
(A1 + X)*n/2 = 280  => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine)
=>X = 6*10 -5 = 55

(X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + … + (X + 28) = 155
An = A1 + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3  => n = 10
S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155  => 2*X + 29 = 31  => X = 1

20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3

Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1
Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An

A1 = S1 = 4
A2 = S2 - S1 = 1
A3 = S3 - S2 = 3
A4 = S4 - S3 = 5
2*A2 = A1 + A3  => 2 = 3 + 4 (F)
=>Sirul nu este o progresie aritmetica
1 PROGRESII GEOMETRICE

     
1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE

   Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0
   Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.

                                   Bn = Bn-1 *q

2.NOTATIE :  :-: (Bn) n>=1

3.PROPRIETATI

P1: Daca avem “ n ” termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere  de cati termeni sunt inaintea lui.
                               
                             Bn = B1 *q(la puterea n-1)

P2: Daca B1, B2, … , Bn sunt  “ n “ termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

                      B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1




P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

                             Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor “ n “ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
                               
                                  Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1

4.APLICATII
 
26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :

B1 = 6 , q = 2
B2 = B1*q = 12
B3 = B2*q = 24
B4 = B3*q = 48
B5 = B4*q = 96
b) B2 = -10 , q = 1/2
     B1 = B2/q = -20
     B3 = B2*q = -5
     B4 = B3*q = -5/2
     B5 = B4*q = -5/4

27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :


Y1, Y2, 24, 36, 54, … ;
36 = 24*q  =>  q = 36/24 = 3/2
24 = Y2*q  =>  24 = Y2*3/2  =>  Y2 = 24*2/3 = 16
    16 = Y1*q  =>  16 = Y1*3/2  =>  Y1 = 32/3

Y1, Y2, 225, -135, 81, … ;
-135 = 225*q  =>  q = -135/225 = -9/17   
225 = Y2*q  =>  225 = Y2*-9/17  =>  Y2 = -425
-425 = Y1*-9/17  =>  Y1 = 7225/9

28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :

B3 = 6 , B5 = 24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;
B3 = B1*q(la puterea 2)
B5 = B1*q(la puterea 4)
=> 6/24 = q(la puterea -2)  => q = 2
    B3 = B1*q(la puterea 2)  => B1 = 3/2
    =>  B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96
    =>  B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384
=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
       
30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

B1 = 2
Bn+1 = 3*Bn

Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)
Bn+1 = Bn*q  =>  3*Bn = Bn*q  =>  q = 3
•    Bn = 2/3*3(la puterea n)




Rezolvati ecuatia : 1+X+X+…+X = 0
Sn = 1*(1- X)/(1- X)
X <>0 => X<>1
=> 1- X = 0  => X = 1  => X = cos0 +i*sin0
=> Xk = cos0 + i*sin0 = cos2k/101 + i*sin2k/101
k=0  => X=1 (nu convine)
k=1  => X=cos2/101 + i*sin2/101

k=100  => X=cos200/101 + i*sin200/101


Intr-o progresie geometrica avem S3= 40, S6= 60. Sa se gaseasca S9.

S3= B1*(q-1)/(q-1)
S6= B1*(q -1)/(q-1)
=> S3/S6= (q-1)/(q -1)= 2/3
=> 3*q-3 = 2*q -2
    => 2*q +3*q-1= 0
Notam: q = y
=> 2*y-3*y+1= 0
     Δ= 1 => y1=2,  y2=1
=> q=1  => q=1(nu convine)
=> q=2  => q=2
=> S3= B1*(q-1)/(q-1)= 40  => B1=40(2 -1)
=>S9= B1*(q -1)/(q-1) = 280


Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.
 

   (b+x) = (a+x)*(c+x)
   b + 2bx + x = ac +ax +cx +x
   b-ac = x( a+c-2b)
   => x =(b-ac)/(a+c-2b)

Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:
A4 + A1=7/16
A3- A2 + A1=7/8

A1*q + A1=7/16  => A1(q + 1)=7/16
A1*q -A1*q +A1=7/8  => A1(q -q +1)=7/8
=> (q+1)/(q -q +1)=1/2  => q+1=1/2  => q= -1/2
    => A1(-1/8 +1) =7/16  => A1= 1/2
Referat oferit de www.ReferateOk.ro
Home : Despre Noi : Contact : Parteneri  
Horoscop
Copyright(c) 2008 - 2012 Referate Ok
referate, referat, referate romana, referate istorie, referate franceza, referat romana, referate engleza, fizica