referat, referate , referat romana, referat istorie, referat geografie, referat fizica, referat engleza, referat chimie, referat franceza, referat biologie
 
Informatica Educatie Fizica Mecanica Spaniola
Arte Plastice Romana Religie Psihologie
Medicina Matematica Marketing Istorie
Astronomie Germana Geografie Franceza
Fizica Filozofie Engleza Economie
Drept Diverse Chimie Biologie
 

Infinitul mare, mic si unitatea

Categoria: Referat Matematica

Descriere:

Un capitol întreg din matematică ce precede calculul diferenÅ£ial (deoarece elementul principal al calculului diferenÅ£ial este derivata, o limită) se ocupă de LIMITE adică de valoarea ultimului element al unei mulÅ£imi create de variabila unei funcÅ£ii...

Varianta Printabila 


1 INFINITUL MARE, MIC ŞI UNITATEA.

Limitele funcţiilor sunt o problemă spinoasă pentru liceeni deoarece, la nivelul lor de percepţie, sunt definite şi se rezolvă folosind tot limite. Deci un cerc vicios din care foarte puţin au capacitatea de a ieşii.
Prin introducerea noţiunii de „infinit mic” care anticipează noţiunea de diferenţială studiată ulterior, cercul vicios dispare prin folosirea unui nou aparat de calcul al limitelor, neglijarea termenilor cu viteză de creştere mică.
Referatul familiarizează cititorul cu aşa numita „problemă a lui Achile cel iute de picior, care deşi poate ntrece in alergare o broască ţestoasă  nu o poate nsă ajunge din urmă.

Wikipedia, enciclopedia liberă, defineşte infinitul matematic astfel:
„Cuvntul infinit provine de la lat. infinitas care nseamnă "nemărginit". Se referă la mai multe concepte distincte, de obicei legate de ideea de "fără sfrşit" sau "mai mare dect cel mai mare lucru la care te poţi gndi", care apar n filozofie, matematică, teologie, dar şi n viaţa cotidiană. n matematică, infinitul este deseori folosit ca număr (de ex. el numără sau măsoară lucruri). Infinitul este relevant n legătură cu limite matematice, şi altele n mod neaşteptat s-a putut dovedi că, luate după bogăţia lor de membri (cardinalitate), există mai multe feluri de mulţimi infinite.”
La ce se referă „feluri de mulţimi infinite” explicitate mai sus?
Infinitul se notează cu simbolul ∞ şi, n cazul mulţimii   (a numerelor naturale, considerată a fi cea mai puţin potentă adică avnd cele mai puţine elemente)  are cardinalitatea (numărul de elemente)  , care se citeşte alef-zero,  (alef) fiind prima literă din alfabetul ebraic.   este cel mai mare număr pe care ni-l putem imagina. Atenţie! Mulţimea numerelor prime, a numerelor pare sau a numerelor divizibile prin 5, toate submulţimi ale mulţimii   au tot potenţa   , deşi ar pare evident ca numărul de elemente este mai mic. Mulţimi teoretic mai potente (cu mai mulţi termeni) cum ar fi mulţimea   (a numerelor ntregi) care are n plus faţă de mulţimea   ramura negativă, are tot cardinalitatea   .
Numărul de puncte ale unei drepte este o mulţime mai potentă deoarece apare ca un infinit de infinite. Intr-adevăr putem aşterne pe o dreaptă, fără suprapuneri, o infinitate de segmente mai mici sau mai mari avnd fiecare n parte cte o infinitate de puncte. O mulţime de acest tip este numită matematic "de puterea continuului” şi are cardinalitatea   (C gotic) mai mare ca   
O mulţime mai potentă dect   poate fi de exemplu mulţimea tuturor funcţiilor care se pot defini pe o mulţime de potenţă  . Această potenţă se notează cu  (f gotic).
Cu definiţiile de mai sus putem stabili relaţiile:
•    K*  =    Suma orictor mulţimi de aceeaşi potenţă nu schimbă potentă.
•     * =     Produsul (funcţia de funcţie) a 2 mulţimi ridică potenţa
Se pot astfel imagina o infinitate de mulţimi infinite din ce n ce mai potente.

Să nu confundăm cardinalitatea unei mulţimi cu limita spre care tinde ultimul ei element. Cardinalitatea reprezintă numărul de elemente ale mulţimii pe cnd fiecare element n parte poate fi exprimat de o constantă sau funcţiune oarecare. De regulă determinăm valoarea spre care tind elementele unei mulţimi calculnd limita pentru valori foarte mari ale variabilei. Nimeni nu poate afirma că această limită trebuie să fie infinită. Ea poate fi şi nulă, determinată sau nedeterminată. n calculul limitei, n afară de operandul afectat variabilei, un definitoriu rol poate fi deţinut de valoarea unor constante.
De exemplu:
Kx (K la puterea x) pentru un X foarte mare are 4 valori diferite, şi anume:
Pentru K>1        Kx = ∞
     K=1        Kx = 1
     K<1        Kx = 0
     K<0        Kx = nedeterminare deoarece ia valoarea ∞ pentru x par respectiv -∞ pentru x impar

Valoarea 1 (unitatea) apare aici ca şi valoarea 0 cu proprietăţi singulare.
Cu 0 suntem lămuriţi. El desparte numerele pozitive de cele negative. Vom avea ocazia de a mai reveni asupra elementului 0 din mulţimi. Ce semnificaţie poate avea nsă unitatea?
nsăşi expresiile larg folosite supraunitar respectiv subunitar dau o semnificaţie aparte acestui punct. Aceste sintagme apar de obicei la fracţii ordinare şi exprimă mărimea numărătorului faţă de numitor.
Toate fracţiile care au numărătorul mai mare dect numitorul se plasează pe axă n dreapta unităţii pe cnd cele cu numitor mai mare n stnga, rămnnd n domeniul pozitiv.
n mulţimile   a numerelor raţionale şi   a numerelor reale putem crea cte 2 submulţimi respectiv A care conţine toate elementele mai mari dect 0 dar mai mici dect 1 şi B care conţine elementele mai mari dect 1
A şi B au cardinalităţi egale deoarece fiecare element din A are un element univoc n B egal cu inversul său. Putem defini deci unitatea drept mijlocul mulţimii elementelor pozitive din    

1 Să reluăm studierea elementul 0. El face parte din toate mulţimile amintite mai sus deci este număr natural deşi are semnificaţia mulţimii vide deci de „nimic”
Din constatarea că unitatea este jumătatea unei mulţimi infinite rezultă că ne putem apropia de 0 la fel cum ne putem apropia de infinit, adică fără a-l putea atinge. Dacă la infinit această afirmaţie este de la sine de nţeles, deoarece poate exista oricnd un număr mai mare cuprins n noţiunea de infinit, cu 0 nu pare att de evident n aceea că ar fi posibil un element mai mic şi totuşi mai mare ca 0.
Ne-am obişnuit cu 0 număr şi putem cu greu să admitem 0 drept limita unei mulţimi infinite.
ntre 0 şi ∞ există o relaţie care este şi totuşi nu este biunivocă,
Prin definiţie N/0 = ∞ n sensul că ori ce număr divizat prin 0 rezultă infinit.
Reciproca este adevărată deci N/∞ = 0 n sensul că ori ce număr divizat prin infinit rezultă 0
Dar 0*∞ nu trebuie să rezulte N ci este un caz de nedeterminare
Un capitol ntreg din matematică ce precede calculul diferenţial (deoarece elementul principal al calculului diferenţial este derivata, o limită) se ocupă de LIMITE adică de valoarea ultimului element al unei mulţimi create de variabila unei funcţii.
Similitudinea ntre aprecierea mulţimii vide (deci numărul 0) ca invers al infinitului mă ndreptăţeşte să definesc o nouă noţiune infinitul mic. Nimic nu-i nou sub soare. Geometria diferenţială lucrează curent cu infiniţi mici pe care -i numeşte diferenţiale şi au notaţia dx, dy respectiv dz. Dar la studierea limitelor, liceanul ncă nu a făcut cunoştinţă cu diferenţialele aşa că pot apare mari dificultăţi, de regulă nvăţarea matematicii ca pe o poezie ceea ce este, după a mea părere un defect crucial. Matematica trebuie nţeleasă nu nvăţată papagaliceşte. X + Y nu fac ntotdeauna 3 !!!
Deci, ce este un infinit mic şi cu ce se mănncă?
Geometria defineşte punctul drept intersecţia a 2 drepte. Punctul este att de mic nct un segment de dreaptă, orict de mic ar fi, conţine o infinitate de puncte. Un punct are o dimensiune, chiar dacă „ncă” nu avem instrumentul cu care să-l măsurăm şi nici unitatea de măsură n care să-i exprimăm mărimea. Există deci un punct al cărui dimensiune este un „infinit mic”, diferit de 0.
Indiferent dacă, n cadrul unei mulţimi generate de o funcţie oarecare mă apropii de infinit sau de 0 variabila independentă a funcţiei creşte/scade cu un infinit mic la fiecare pas. Deci diferenţa ntre valoarea consecutivă a elementelor mulţimii de valori ale funcţiei este un infinit mic, un punct adăugat variabilii independente. Diferenţa ntre tendinţa spre infinit sau 0 este deci semnul infinitului mic.
Un infinit mic este cert subunitar precum un infinit mare este supraunitar.
Lund n considerare că puterile succesive ale unei valori subunitare sunt din ce n ce mai mici influenţa asupra valorii funcţiei devine mai mică cu ct creşte puterea variabilei independente. Exact invers se petrec fenomenele n cazul tinderii variabilei independente spre valori mari, puterile mai mici pot fi neglijate n favoarea celei mai mari. Putem deci defini o „viteză de creştere (descreştere) a funcţiei, n general dictată de puterea la care este ridicată variabila independentă. Astfel pătratul lui X creşte mult mai repede dect X la valori supraunitare (deci mari) pe cnd acelaşi pătrat descreşte mult mai repede dect X pentru valori subunitare (deci apropiate de 0).
La un polinom oarecare (o suită de puteri ale variabilei independente X), funcţia pe care o reprezintă poate fi asimilată, la calculul limitei, identic cu termenul celei mai mari puteri n cazul creşterii nemărginite a variabilei, respectiv cu termenul celei mai mici puteri n cazul descreşterii spre 0 a variabilei.
ATENŢIE! Noţiunea de termen cuprinde şi coeficientul ce multiplică puterea respectivă a variabilei şi chiar şi semnul lui algebric. Această precizare devine esenţială cnd funcţia este reprezentată drept o fracţie avnd la numărător şi numitor polinoame.
Deci, pentru absolut toate funcţiile polinomiale inclusiv a fracţiilor rezultate din polinoame limitele pentru valori mari sau mici ale variabilei se calculează simplu prin neglijarea termenilor care au viteza de creştere/descreştere mai mică.
Avnd la dispoziţie un „aparat” care să-i nlesnească  calcularea lesnicioasă a majorităţii limitelor liceanul se poate dedica nţelegerii şi asimilării noţiunii de „nedeterminare” şi aparatul folosit la ridicarea ei adică tot calculul diferenţial cu toate problemele pe care le ridică. Derivata este prin definiţie o limită şi, cu mici excepţii, foarte uşor de calculat dacă ai noţiunea infinitului mic fiindcă variabila tinde către 0.
Noţiunea de limită nu este de fapt nouă pentru el. Rezolvarea unei ecuaţii algebrice nu este altceva dect o problemă de limite privită nsă din alt punct de vedere. Şi asimtotele studiate la reprezentarea grafică a funcţiilor pun problema de limite
Referat oferit de www.ReferateOk.ro
Home : Despre Noi : Contact : Parteneri  
Horoscop
Copyright(c) 2008 - 2012 Referate Ok
referate, referat, referate romana, referate istorie, referate franceza, referat romana, referate engleza, fizica