referat, referate , referat romana, referat istorie, referat geografie, referat fizica, referat engleza, referat chimie, referat franceza, referat biologie
 
Astronomie Istorie Marketing Matematica
Medicina Psihologie Religie Romana
Arte Plastice Spaniola Mecanica Informatica
Germana Biologie Chimie Diverse
Drept Economie Engleza Filozofie
Fizica Franceza Geografie Educatie Fizica
 

Operatii cu functii derivabile - derivatele unor functii uzuale

Categoria: Referat Matematica

Descriere:

Trecem acum la stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere şi inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcţiilor compuse. In acest sens, are loc:...

Varianta Printabila 


1
Operaţii cu funcţii derivabile.  
Derivatele unor funcţii uzuale


Am ntlnit deja exemple de funcţii derivabile. Este utilă o sinteză a derivatelor funcţiilor uzuale şi se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de funcţii derivabile.

II.1o Derivatele ctorva funcţii uzuale

a)    Orice funcţie constantă ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabilă pe R, cu derivata nulă

                   (1).

b)    Funcţia putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real şi x > 0) este derivabilă pe R şi   ƒ’(x)=nxn-1.


        (2).

   
c)    Funcţia logaritmică ƒ: (0,  ) → R, ƒ (x) = ln x  este derivabilă pe domeniul de                                                                                      definiţie şi are derivata

 
     (3).

d)    Funcţiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R şi pentru orice  x  avem

(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x
     
Demonstraţiile tuturor acestor derivate se fac uşor folosind definiţia derivatei.

Reguli de derivare

In continuare arătăm că pentru funcţii ca ƒ, g : E→R derivabile, E  R, funcţiile ƒ + g, ƒ-g,  fg etc. au aceeaşi proprietate.

Teorema 1

Presupunem că ƒ, g sunt derivabile n punctul x0 E şi  o constantă.
Atunci :
          (a) suma ƒ + g este derivabilă n x0  şi
                                           
          (b) λƒ este derivabilă n x0 şi
                                   
          (c) produsul ƒg  este o funcţie, derivabilă n x0 şi
                                   

Teroema 2

Presupunem că ƒ şi g sunt derivabile n x0 şi că  . Atunci funcţia – ct   este derivabilă n x0  şi, n plus :





Derivarea unei funcţii compuse şi a inversei unei funcţii

Trecem acum la  stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere şi inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcţiilor compuse. In acest sens, are loc:

Teorema 3

 Fie I, J  intervale şi   două funcţii. Dacă ƒ este derivabilă n punctul  x0 I, şi g este derivabilă n punctul y0=ƒ(x0), atunci funcţia compusă G= g ƒ este derivabilă n x0 şi G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J, atunci g f este derivabilă pe I şi are loc formula :

 

Teorema 4

Fie ƒ: I →J o funcţie continuă şi bijectivă ntre două intervale. Presupunem că ƒ este derivabilă ntr-un punct x0 I şi ƒ’(x0)  0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă n punctul y0=f(x0) şi, n plus,
 

Derivatele funcţiilor uzuale şi a regulilor de derivare

Reguli de derivare
1.  
2.  
3.  
4.  

1 O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b).
Teorema care urmează este o consecinţă a rezultatelor privind funcţiile şi a teoremei lui Fermat, foarte utilă n aplicaţii.

Teorema lui M. Rolle

Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcţie Rolle astfel nct ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c (a, b) astfel nct ƒ’(c)=0.
Demonstraţie. Funcţia ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită şi şi atinge marginile n [a, b]. Fie m=   M=      .
Apar trei cazuri :
I.    M> ƒ(a). Există un punct c  [a, b] astfel nct M=ƒ(c) (M fiind atinsă) şi, evident, c  a, a b (dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); aşadar,   c  (a, b) şi cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.
II.    m< ƒ(a). Similar.
III.    m= M. Atunci funcţia ƒ este constantă pe [a, b], deci ƒ’(c)=0 pentru orice c  (a, b).
COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcţii derivabile pe un interval se află cel puţin un zerou al derivatei.
Demonstraţie. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I şi a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) şi putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].
Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puţin un punct ntre a şi b n care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (fig. 6).
Observaţii. Toate condiţiile din enunţul teoremei lui Rolle sunt necesare, n sensul că dacă s-ar renunţa la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi ntotdeauna adevărată.
a)    Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcţiei
 arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deşi ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7).
b)    Dacă ƒ(a)  ƒ(b), este suficient să considerăm funcţia ƒ(x)= x pe [0, 1] (fig 8).
            c)  Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe ntreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, aşa cum arată exemplul funcţiei ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1].


Teorema lui Cauchy

Fie ƒ, g două funcţii Rolle pe intervalul compact [a, b], a< b, astfel nct g’(x)  0, x (a, b); atunci există un punct c  (a, b) astfel nct


 
Demonstraţie. Condiţia g’(x)  0 pentru orice x (a, b) implică faptul că          g(a)  g(b); ntr-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicnd teorema lui Rolle , ar rezulta că există        c  (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.
Considerăm funcţia ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), k R şi determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k= . Aplicnd teorema lui Rolle funcţiei F cu k astfel determinat, există c  (a, b) astfel nct F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x  (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k= , de unde se obţine relaţia ce trebuia demonstrată.
   Observaţie. Am fi putut mai nti sa demonstrăm teorema lui Cauchy şi apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange..
In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcţiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcţii.

Teorema lui Darboux

Dacă ƒ: IR este o funcţie derivabilă pe un interval I, atunci derivata sa ƒ’ are proprietatea lui Darboux  (adică nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare).

Demonstraţie. Fie a<b două puncte din I astfel nct f’(a)=ƒ’(b). Pentru a fixa ideile, să presupunem că ƒ’(a)<ƒ’(b). Fie   (ƒ’(a), ƒ’(b)). Trebuie arătat că există un punct c  (a, b) astfel ncăt ƒ’(c)=. Pentru aceasta vom considera funcţia auxiliară F(x)=ƒ(x)-x; evident, F’(a)=ƒ’(a)-<0 şi F’(b)=ƒ’(b)->0.
Funcţia F este derivabilă, deci continuă n intervalul [a, b] şi, ca atare, marginea inferioară m= F(x) este atinsă, ntr-un punct c  [a, b]. Vom arăta că de fapt m nu poate fi atins nici n a, nici n b. Aşadar, c  (a, b) şi din teorema lui Fermat se obţine F’(c)=0. Dar aceasta arată că f’(c)-=0, adică ƒ’(c)=, tocmai ce trebuia verificat.
Pentru a arăta că punctul c aparţine intervalului (a, b), vom proceda astfel: alegem >0 astfel nct |F’(a)|> şi F’(b)>. Din definiţia derivatei lui F n punctele a şi b, există >0 depinznd de  astfel nct din faptul că |x- a|> (respectiv  |x- b|> ) să rezulte că

Deoarece F’(a)+<0, raportul va fi strict negativ, pentru orice x> a, x-a<. Deci       F(x)-(a)<0, adică F(x)<F(a). In mod analog, din inegalitatea F’(b)->0, rezultă că F(x)<F(b) pentru x< b, x- b<. Aceste inegalităţi arată că marginea  inferioară a funcţiei F nu este atinsă nici n a, nici n b.





COROLAR. Fie ƒ: IR o funcţie derivabilă pe un interval I. Dacă derivata ƒ’ nu se anulează pe I, atunci ƒ’ are semn constant pe I.

Intr-adevăr, dacă ƒ’ nu ar avea semn constant pe I, atunci ƒ’ ar lua valori pozitive şi valori negative pe I, deci, conform teoremei lui Darboux, ar lua valoarea zero, ceea ce contravine ipotezei că ƒ’ nu se anulează pe I.
Referat oferit de www.ReferateOk.ro
Home : Despre Noi : Contact : Parteneri  
Horoscop
Copyright(c) 2008 - 2012 Referate Ok
referate, referat, referate romana, referate istorie, referate franceza, referat romana, referate engleza, fizica