referat, referate , referat romana, referat istorie, referat geografie, referat fizica, referat engleza, referat chimie, referat franceza, referat biologie
 
Astronomie Istorie Marketing Matematica
Medicina Psihologie Religie Romana
Arte Plastice Spaniola Mecanica Informatica
Germana Biologie Chimie Diverse
Drept Economie Engleza Filozofie
Fizica Franceza Geografie Educatie Fizica
 

Derivarea functiilor compuse

Categoria: Referat Matematica

Descriere:

Daca
f(x) f(x0) , atunci f(x) y0 si F(f(x))= si se constata ca relatia (1) se verifica.
Trecand la limita in (1) dupa x x0 avem:
(g f)'(x0)= = F(f(x)) =g'(y0)f'(x0)=g'(f(x0))f'(x0), unde am utilizat relatiile F(f(x))=F(y0)=g'(y0) si faptul ca f este derivabila in x0...

Varianta Printabila 


1







Derivarea  functiilor  compuse
















1.    Derivarea functiilor compuse:
    

          In acest paragraf vom arata ca prin compunerea unei functii derivabile se obtin tot functii derivabile.

Teorema: Fie I si J integrale din R si functiile u:I→J si f:J→R.
Daca u este derivabila in x0   J, iar f este derivabila in u0=u(x0) J , atunci functia compusa f  u:J→R este derivabila in x0 si (f   u)'(x0)=
f '(u0)∙u'(x0)

1.      ∙

     =f'(u0)∙u'(x0)

Consecinta: Deoarece x0 a fost ales arbitrar, rezulta ca daca u:I→J si f:J→R sunt derivabile , atunci f u este dericabila si (f u)'=f'(u)∙u'
Derivata unei funcii compuse este produsul derivatelor celor doua functii in ordinea compunerii lor.

Observatie: (g f u)'=g'(f u)∙f'(u)∙u'

Demonstratie.Trebuie probat ca:
 
Definim functia: F: J R astfel:
F(y)=        ,daca y y0
                 g’(y0), daca y=y0

Evident F este continua in y0 deoarece:
 F(y)=  =g'(y0)=F(y0)
Are loc egalitatea:  =F(f(x)) ,daca x x0 (1)
Intr-adevar, daca f(x)=f(x0) , atunci ambrii membri sunt nuli.




Daca
 f(x)  f(x0) , atunci f(x) y0 si F(f(x))=  si se constata ca relatia (1) se verifica.
Trecand la limita in (1) dupa x x0 avem:
(g f)'(x0)=  = F(f(x))       =g'(y0)f'(x0)=g'(f(x0))f'(x0), unde am utilizat relatiile  F(f(x))=F(y0)=g'(y0) si faptul ca f este derivabila in x0.

Teorema: Fie I , J intervale si I J R doua functii. Daca f este derivabila pe I si g este derivabila pe J , atunci g f este derivabila pe I si (g f)'=g'(f)∙f'

Observatii: 1) Daca se considera trei functii derivabile f : I J , g : J K , h:K R , atunci functia h g f : I  R este derivabila si (h g f)'=h'(g f)∙
∙g'(f)∙f' rezultat ce se obtine imediat aplicand corolarul precedent
[h (g f)]'=h'(g f)∙(g f)'=h'(g f)∙g'(f)∙f'

                   2) Deci: derivata unei functii compuse se obtine inmultind derivatele functiilor care se compun in ordinea compunerii lor.
   
Exemple: Calculati functia derivata pentru fiecare dintre functiile urmatoare:

1.    f:R→R , f(x)=sin3 x
Daca u(x)=sin x , atunci f(u)=u3si f'(u)=3u2
f'(x)=f'(u)∙u'(x)=3u2∙u'(x)=3 sin2x∙(sin x)'=3 sin2x∙cos x
 
2.    f:R→, f(x)=cos x2
Daca x2=u(x), atunci f(u)=cos u si f'(u)=-sin u
f'(x)=f'(u)∙u'(x)=-sin u ∙u'(x)=-(sin x2)∙(x2)=-2x sin x2

3.    f:(-∞;0)  (2;∞)→R , f(x)=In(x2-2x)
Daca u(x)=x2-2x , atunci f(u)=In u si f'(u)=
f'(x)=f'(u)∙u'(x)= ∙u'(x)= ∙(x2-2x)'= =


 

2.  Consecinte


1.    [un(x)]'=n∙un-1∙u'(x) , oricare ar fi n N*

2.    [ ]'=  ∙u'(x) , oricare ar fi n N*

3.    [In u(x)]'= ∙u'(x)

4.    [sin u(x)]'=[cos u (x)]∙u'(x)

5.    [cos u(x)'=-[sin u(x)]∙u'(x)

6.    [tg u(x)]'= ∙u'(x)=[1+tg2u(x)]∙u'(x)

7.    [ctg u(x)]'=- ∙u'(x)=[-1-ctg2u(x)]∙u'(x)

•    (xn)'=nxn-1
•    ( )'=
•    ( )'=

•    (ax)'=ax ln a

•    (logax)'=
•    (ln x)'=
•    (sin x)'=cos x

•    (cos x)'=sin x
•    (tg x)'=
•    (ctg x)'=


1 3.  Tabel cu derivatele functiilor elementare si ale functiilor compuse:



NR.    FUNCTIA    DERIVATA    DOMENIUL DE DERIVABILITATE    FUNCTIA COMPUSA    DERIVATA
1.    constanta c    0    R    -    -
2.    xn(n N*)
nxn-1    R    un(n N*)
n∙un-1∙u'
3.    xa(a R)
axa-1    (0,∞) pentru a R/Q
ua(a R)
 ∙ua-1∙u'

4.    
 
(0,∞)     (u>0)
 

5.    ax(a>0;a 1)
ax ln a    R    au(a>0;a 1)
au∙u'∙ln a
6.    ex    ex    R    eu    eu∙u'
7.    ln x    
(0,∞)    ln u,u 0
 u'

8.    sin x    cos x    R    sin u    u'∙cos u
9.    cos x    -sin x    R    cos u     -u'∙sin u
10.    tg x    
cos x   0
tg u(cos u 0)
 

11.    ctg x    -
sin x 0
ctg u(sin u 0)
-

12.    arcsin x    
(-1,1)    arcsin u
u (-1;1)
 

13.    arccos x    -
(-1,1)    arccos u
u (-1;1)
-

14.    arctg x    
R    arctg u     

15.    arcctg x    -
R    arcctg u     -






4.    Exercitii rezolvate

1.    [ln (5x+2)]'= =


2.    [ln (x2+5x+4)]'= =

3.     =  

 

4.    Fie g , h :R R , g(x)=x2+3x+2 , h(x)=x3 pentru care g'(x)=2x+3 si h'(x)=3x2.
Sa consideram functia:
f=h g : R R , f(x)=(h g)(x)=h(g(x))=(x2+3x+2)3.
Atunci f'(x)=(h g)'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=3g(x)∙(2x+3)=3(x2+3x+2)(2x+3)

Observatie: in acest exercitiu am ales eu functiile g, h cu ajutorul lor am constituit functia compusa f=h  g. De obicei in aplicatii se da functia f si ramane in seama cititorului evidentierea functiilor care se compun. Se impune o atentie deosebita la ordinea in care apar functiile in compunere.

5.    Sa se calculeze derivatele functiilor compuse (punand de fiecere data  in evidenta functiile care se compun):

1)     f(x)=sin x2 , x  R
Functia f este compunerea functiilor g:R R , g(x)=x2, h:R R , h(x)=sin x. Atunci :
f=h g , f(x)=h(g(x))=sin x2
Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=(cos x2)∙2x=2x cos x2
Este clar ca h , g sunt derivabile si are loc teorema de la derivarea functiilor compuse.Deci prima functie din compunere este sin si apoi functia polinomiala g(x)=x2. Daca gandim functia f(x)=sin u(x) , unde u(x)=x2 , atunci f'(x)=(sin u(x))'=cos u(x)∙u'(x)=2x cos x2.

2)    f(x)=sin2x , x R;


  In acest caz trebuie sa evidentiem doua functii: g:R  R , g(x)=sin x si h:R R , h(x)=x2(functia putere) , pentru care g'(x)=cos x , h'(x)=2x. Deci:
 f(x)=(h g)(x) si f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=h'(sin x)∙(sin x)'=2sin x ∙cos x=sin2x
Analog am putea considera f(x)=u2(x) , unde u(x)=sin x si deci f'(x)=2∙u(x)∙u'(x)=2sin x∙cos x =sin2x.




3)    f(x)=sin3(x2+1) , x R

  In acest caz avem in compunerea functiilor g,h,i :R R , unde g(x)=x2+1 , h(x)=sin x , i(x)=x3 pentru care g'(x)=2x , h'(x)=cos x , i'(x)=3x2 cand f(x)=(i h g)(x)=i(h(g(x)))=i(h(x2+1))=i(sin(x2+1))=(sin(x2+1))3 , adica ordinea in compunere este functia putere , functia sin si apoi functia polinomiala.
De aici f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3h(g(x))2∙cos(g(x))∙2x=
=3sin2(x2+1)∙cos(x2+1)∙2x




4)    f(x)=sin2x , x R

  Aici se compune in ordine functia logaritmica h:(0, ) R , h(x)=ln x cu functia polinomiala g:(0, ) (1, ) , g(x)=x3+x2+1 cu h'(x)=  si g'(x)=3x2+2x cand avem : f(x)=(h g)(x). Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)= ∙(3x2+2x)=
Daca gandim functia f ca fiind f(x)=ln u(x) unde u(x)=g(x) , atunci f'(x)= =

 






5)    f(x)=ln5x , x>0


Scriind f(x)=(ln x)5 se constata usor ca prima functie din compunere este functia putere h: R R , h(x)=x5 , iar a doua functie este g:(0, ) R  
g(x)=ln x pentru care h'(x)=5x4 , g'(x)= .
Asadar f'(x)=[(ln x)5]'=5(ln x)4∙ = ln4x



6)    f(x)=ln3(3x2+5x) , x>0

Se remarca usor ca in structura functiei sunt trei functii care se compun g:R R , g(x)=3x2+5x (functie polinomiala) , h:(0, ) R , h(x)=ln x    
( functie logaritmica) si in fine i : R R , i(x)=x3 (functia putere).
Deci f(x)=(i h g)(x). Avem g'(x)=6x+5 , h'(x)=  , i'(x)=3x2
Acum este usor de vazut ca :
f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3ln2(3x2+5x)∙ ∙(6x+5)
Referat oferit de www.ReferateOk.ro
Home : Despre Noi : Contact : Parteneri  
Horoscop
Copyright(c) 2008 - 2012 Referate Ok
referate, referat, referate romana, referate istorie, referate franceza, referat romana, referate engleza, fizica