1 UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII
BUCUREŞTI
FACULTATEA DE UTILAJ TEHNOLOGIC
STUDII APROFUNDATE



MODELAREA SI SIMULAREA UNOR ECHIPAMENTE ALE SISTEMELOR HIDRAULICE AUTOMATE

        
   

INTRODUCERE:

 
    Structural, un sistem hidraulic automat reprezintă o succesiune de conversii de energie C1, C2 şi C3, figura 1.1. În figură, blocurile reprezintă în ordine: motorul electric de acţionare MEA, generatorul hidrostatic de presiune şi debit GH, aparatura de reglare şi control ARC (aparatură direcţională, de reglare a debitului şi presiunii, de înmagazinare, de filtrare etc.); motorul hidraulic MH şi mecanismul de execuţie ME (organul de lucru).

Motorul electric transformă energia electrică în energie mecanică, deci, la nivelul său, se realizează prima conversie C1, apoi, generatorul hidrostatic transformă energia mecanică în energie potenţială de presiune, realizând astfel cea de a doua conversie C2, energie care – preluată de elementele de reglare şi control – este transformată în mod convenabil în concordanţă cu programul de funcţionare al instalaţiei şi transmisă apoi motorului hidraulic. La nivelul motorului hidraulic (circular sau liniar), se realizează ultima conversie de energie C3, din energie hidraulică în energie mecanică, transmisă apoi organului activ al sistemului de acţionare.

Spre deosebire de sistemele hidraulice automate în accepţiune clasică, având o mărime de intrare xi şi o mărime de ieşire xe (figura 1.2), sistemul hidraulic automat din figura 1.1 este prezentat în accepţiune sistemică, ca un sistem multivariabil, în care elementele componente (blocurile 1…5) sunt cuadripoli sau sexapoli, iar liniile de conexiune (polii) reprezintă suportul de informaţie a variabilelor.

Sistemul de acţionare global presupune existenţa unei mărimi electrice (U,I), mecanice (n1; n2(v); n(v); M1; M2(F); M(F)) şi hidraulice (Qp; QM; pP; pM), ordonate într-un anumit fel în concordanţă cu modul de transmitere a energiei sau informaţiei. Mărimile U, n1, QP, QM, n2(v) şi n(v) sunt denumite variabile directe sau de mişcare, prin intermediul acestora realizându-se caracteristica de frecvenţă a sistemului, iar mărimile M(F), M2(F), pM, pP, M1, I – variabile de efort, ceea ce presupune rezerva de putere a sistemului pentru crearea forţei sau momentului necesar învingerii forţelor sau momentelor rezistente la organul de lucru.
Mărimile x şi F’ sunt mărimi exterioare de comandă.

În cele ce urmează, vom prezenta metodica cercetării teoretice prin modelare şi simulare pe calculatorul numeric a elementelor componente ale sistemelor hidraulice automate, cum ar fi de exemplu: generatoare de energie (pompe), motoare, aparatura de reglare a debitelor şi presiunilor, aparatura de distribuţie etc..
 

        1.1. MODELUL POMPEI CU DEBIT CONSTANT

 
Pentru elaborarea modelelor matematice şi întocmirea schemelor bloc funcţionale, cât şi pentru simularea numerică pe calculator, se pleacă de la ecuaţia de echilibru a debitelor şi mişcării şi, respectiv, de la ecuaţia de echilibru dinamic a momentelor la nivelul legăturii prin cuplaj dintre motorul electric de antrenare şi generator, care, pentru pompele cu debit constant (PDC), au următoarea formă:
 

(1.1)
 

(1.2)
unde: QP este debitul pompei [m3/s]; qP- capacitatea pompei (se neglijează valorile neactive de lichid) [m3]; P – viteza unghiulară a pompei [rad/s]; aP – gradientul linearizat al pierderilor de debit [(m3/s)/(N/m2)]; p – presiunea instantanee din pompă [N/m2]; E – modulul de elasticitate al lichidului [N/m2]; J – momentul de inerţie cumulat al motorului pompei, cuplajului şi rotorului motorului electric [Nms2]; bP – gradientul linearizat al pierderilor proporţionale cu turaţia [(Nm) /(rad/s)]; Ke – panta caracteristicii mecanice a motorului electric [(Nm) /(rad/s)]; P – viteza unghiulară de sincronism a motorului electric [rad/s]; cfP – coeficientul de frecare uscată (mărime adimensională).
    
    Se consideră ca mărime de intrare, presiunea instantanee p(t), mărime de ieşire, debitul instantaneu QP(t), iar, ca parametru, viteza unghiulară de sincronism s.
    Aplicând relaţiilor (1.1) şi (1.2), transformata Laplace, pentru condiţii iniţiale nule, se obţine:
 


(1.3)
 


(1.4)


Considerând pompa în accepţiune sistemică (figura 1.3), pe baza ecuaţiilor (1.3) şi (1.4), se poate elabora schema funcţională a pompei cu capacitate constantă (figura 1.4).
 

1.2. MODELUL POMPEI CU DEBIT REGLABIL

 
În cazul generatorului cu capacitate reglabilă (figura 1.5), se înlocuieşte în ecuaţiile (1.1) şi (1.2) ale pompei cu capacitate constantă   unde   este un coeficient,  , iar KP este capacitatea maximă a pompei împărţită la 2.

Se notează, de asemenea, cu  , cantitatea medie de lichid din spaţiile inactive ale pompei.

Pe baza celor spuse, va rezulta următorul model matematic neliniar:
 

(1.5)

 

(1.6)
Notaţiile corespund celor din modelul precedent. Aplicând transformata Laplace relaţiilor (2.5) şi (2.6) vom obţine:
 


(1.7)
 


(1.8)

Pe baza relaţiilor matematice scrise (a modelului matematic neliniar), se poate elabora schema funcţională a pompei cu capacitate reglabilă (figura 1.6). Cele două modele au fost prezentate mai mult teoretic, prin scrierea ecuaţiilor diferenţiale care descriu modelele lor matematice.
În paragraful următor voi prezenta modelarea şi simularea unei pompe cu pistoane axiale cu cilindree variabilă, cu controlul presiunii.



 

















1.3. MODELAREA ŞI SIMULAREA UNEI POMPE
       CU PISTOANE AXIALE CU CILINDREE VARIABILĂ
       CU CONTROLUL PRESIUNII

 
Ne propunem să studiem caracteristicile statice şi dinamice ale unei pompe cu pistoane axiale cu cilindree variabilă, cu regulator de presiune. Ecuaţiile care modelează funcţionarea pompei sunt studiate prin simularea pe calculator, metodă care duce la identificarea parametrilor principali. Rezultatele obţinute sunt în concordanţă cu caracteristicile de funcţionare furnizate de producător.

1.3.1. INTRODUCERE

În sistemele hidraulice moderne, pompele cu pistoane axiale cu cilindree variabilă se utilizează în majoritatea aplicaţiilor la care este necesar un control riguros al presiunii. O astfel de pompă cu controlul presiunii produce exact debitul necesar consumatorului, crescând eficienţa pompării şi scăderea temperaturii uleiului. Aceste pompe folosite împreună cu supapele proporţionale sau servovalvele fac ca sistemele hidraulice să fie mult mai eficiente şi mai flexibile – Fig. 1.7
1 – pompa cu pistoane axiale;                                                                                    
2 – supapa proporţională;
3 – cilindru hidraulic 1;
4 – cilindru hidraulic (la care revenirea pistonului se face cu ajutorul arcului);
5 – pârghia de reglaj.

Cunoaşterea caracteristicilor statice şi dinamice a acestor pompe este importantă în proiectarea sistemelor hidraulice de control sofisticate. Această afirmaţie se dovedeşte a fi adevărată, deoarece după cum ştim, schimbarea condiţiilor de operare trebuie să se facă în cel mai scurt timp şi dacă e posibil fără oscilaţii. Rezultatele expeUNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII
BUCUREŞTI
FACULTATEA DE UTILAJ TEHNOLOGIC
STUDII APROFUNDATE












MODELAREA SI SIMULAREA UNOR ECHIPAMENTE ALE SISTEMELOR HIDRAULICE AUTOMATE

       
       





                                            CURSANT
                                           DINU IRINA
                                   



- 2005 –


INTRODUCERE:

 
    Structural, un sistem hidraulic automat reprezintă o succesiune de conversii de energie C1, C2 şi C3, figura 1.1. În figură, blocurile reprezintă în ordine: motorul electric de acţionare MEA, generatorul hidrostatic de presiune şi debit GH, aparatura de reglare şi control ARC (aparatură direcţională, de reglare a debitului şi presiunii, de înmagazinare, de filtrare etc.); motorul hidraulic MH şi mecanismul de execuţie ME (organul de lucru).

Motorul electric transformă energia electrică în energie mecanică, deci, la nivelul său, se realizează prima conversie C1, apoi, generatorul hidrostatic transformă energia mecanică în energie potenţială de presiune, realizând astfel cea de a doua conversie C2, energie care – preluată de elementele de reglare şi control – este transformată în mod convenabil în concordanţă cu programul de funcţionare al instalaţiei şi transmisă apoi motorului hidraulic. La nivelul motorului hidraulic (circular sau liniar), se realizează ultima conversie de energie C3, din energie hidraulică în energie mecanică, transmisă apoi organului activ al sistemului de acţionare.

Spre deosebire de sistemele hidraulice automate în accepţiune clasică, având o mărime de intrare xi şi o mărime de ieşire xe (figura 1.2), sistemul hidraulic automat din figura 1.1 este prezentat în accepţiune sistemică, ca un sistem multivariabil, în care elementele componente (blocurile 1…5) sunt cuadripoli sau sexapoli, iar liniile de conexiune (polii) reprezintă suportul de informaţie a variabilelor.

Sistemul de acţionare global presupune existenţa unei mărimi electrice (U,I), mecanice (n1; n2(v); n(v); M1; M2(F); M(F)) şi hidraulice (Qp; QM; pP; pM), ordonate într-un anumit fel în concordanţă cu modul de transmitere a energiei sau informaţiei. Mărimile U, n1, QP, QM, n2(v) şi n(v) sunt denumite variabile directe sau de mişcare, prin intermediul acestora realizându-se caracteristica de frecvenţă a sistemului, iar mărimile M(F), M2(F), pM, pP, M1, I – variabile de efort, ceea ce presupune rezerva de putere a sistemului pentru crearea forţei sau momentului necesar învingerii forţelor sau momentelor rezistente la organul de lucru.
Mărimile x şi F’ sunt mărimi exterioare de comandă.

În cele ce urmează, vom prezenta metodica cercetării teoretice prin modelare şi simulare pe calculatorul numeric a elementelor componente ale sistemelor hidraulice automate, cum ar fi de exemplu: generatoare de energie (pompe), motoare, aparatura de reglare a debitelor şi presiunilor, aparatura de distribuţie etc..
 

        1.1. MODELUL POMPEI CU DEBIT CONSTANT

 
Pentru elaborarea modelelor matematice şi întocmirea schemelor bloc funcţionale, cât şi pentru simularea numerică pe calculator, se pleacă de la ecuaţia de echilibru a debitelor şi mişcării şi, respectiv, de la ecuaţia de echilibru dinamic a momentelor la nivelul legăturii prin cuplaj dintre motorul electric de antrenare şi generator, care, pentru pompele cu debit constant (PDC), au următoarea formă:
 

(1.1)
 

(1.2)
unde: QP este debitul pompei [m3/s]; qP- capacitatea pompei (se neglijează valorile neactive de lichid) [m3]; P – viteza unghiulară a pompei [rad/s]; aP – gradientul linearizat al pierderilor de debit [(m3/s)/(N/m2)]; p – presiunea instantanee din pompă [N/m2]; E – modulul de elasticitate al lichidului [N/m2]; J – momentul de inerţie cumulat al motorului pompei, cuplajului şi rotorului motorului electric [Nms2]; bP – gradientul linearizat al pierderilor proporţionale cu turaţia [(Nm) /(rad/s)]; Ke – panta caracteristicii mecanice a motorului electric [(Nm) /(rad/s)]; P – viteza unghiulară de sincronism a motorului electric [rad/s]; cfP – coeficientul de frecare uscată (mărime adimensională).
   
    Se consideră ca mărime de intrare, presiunea instantanee p(t), mărime de ieşire, debitul instantaneu QP(t), iar, ca parametru, viteza unghiulară de sincronism s.
    Aplicând relaţiilor (1.1) şi (1.2), transformata Laplace, pentru condiţii iniţiale nule, se obţine:
 


(1.3)
 


(1.4)


Considerând pompa în accepţiune sistemică (figura 1.3), pe baza ecuaţiilor (1.3) şi (1.4), se poate elabora schema funcţională a pompei cu capacitate constantă (figura 1.4).
 

1.2. MODELUL POMPEI CU DEBIT REGLABIL

 
În cazul generatorului cu capacitate reglabilă (figura 1.5), se înlocuieşte în ecuaţiile (1.1) şi (1.2) ale pompei cu capacitate constantă   unde   este un coeficient,  , iar KP este capacitatea maximă a pompei împărţită la 2.

Se notează, de asemenea, cu  , cantitatea medie de lichid din spaţiile inactive ale pompei.

Pe baza celor spuse, va rezulta următorul model matematic neliniar:
 

(1.5)

 

(1.6)
Notaţiile corespund celor din modelul precedent. Aplicând transformata Laplace relaţiilor (2.5) şi (2.6) vom obţine:
 


(1.7)
 


(1.8)

Pe baza relaţiilor matematice scrise (a modelului matematic neliniar), se poate elabora schema funcţională a pompei cu capacitate reglabilă (figura 1.6). Cele două modele au fost prezentate mai mult teoretic, prin scrierea ecuaţiilor diferenţiale care descriu modelele lor matematice.
În paragraful următor voi prezenta modelarea şi simularea unei pompe cu pistoane axiale cu cilindree variabilă, cu controlul presiunii.



 

















1.3. MODELAREA ŞI SIMULAREA UNEI POMPE
       CU PISTOANE AXIALE CU CILINDREE VARIABILĂ
       CU CONTROLUL PRESIUNII

 
Ne propunem să studiem caracteristicile statice şi dinamice ale unei pompe cu pistoane axiale cu cilindree variabilă, cu regulator de presiune. Ecuaţiile care modelează funcţionarea pompei sunt studiate prin simularea pe calculator, metodă care duce la identificarea parametrilor principali. Rezultatele obţinute sunt în concordanţă cu caracteristicile de funcţionare furnizate de producător.

1.3.1. INTRODUCERE

În sistemele hidraulice moderne, pompele cu pistoane axiale cu cilindree variabilă se utilizează în majoritatea aplicaţiilor la care este necesar un control riguros al presiunii. O astfel de pompă cu controlul presiunii produce exact debitul necesar consumatorului, crescând eficienţa pompării şi scăderea temperaturii uleiului. Aceste pompe folosite împreună cu supapele proporţionale sau servovalvele fac ca sistemele hidraulice să fie mult mai eficiente şi mai flexibile – Fig. 1.7
1 – pompa cu pistoane axiale;                                                                                   
2 – supapa proporţională;
3 – cilindru hidraulic 1;
4 – cilindru hidraulic (la care revenirea pistonului se face cu ajutorul arcului);
5 – pârghia de reglaj.

Cunoaşterea caracteristicilor statice şi dinamice a acestor pompe este importantă în proiectarea sistemelor hidraulice de control sofisticate. Această afirmaţie se dovedeşte a fi adevărată, deoarece după cum ştim, schimbarea condiţiilor de operare trebuie să se facă în cel mai scurt timp şi dacă e posibil fără oscilaţii. Rezultatele experimentale ale caracteristicilor dinamice ale pompelor sunt considerate a fi cunoscute de la producător.

Pentru efectuarea analizei de faţă, vom folosi modelul matematic, al pompei cu pistoane axiale cu cilindree variabilă, cu controlul presiunii, utilizând pentru aceasta simularea pe calculator. Se examinează condiţiile de funcţionare ale pompei, şi rezultatele prezentate în caracteristicile dinamice de funcţionare sunt în concordanţă (rezonabilă) cu datele oferite de producător. În acelaşi fel se pot modela şi alte componente ale unui sistem hidraulic.

Mai mult, modelarea simultană a tuturor componentelor unui sistem hidraulic, poate descrie condiţiile dinamice de operare ale unui sistem hidraulic oricât de complex.


1.3.2. CONTROLUL PRESIUNII

În practică, controlul presiunii, prin compararea valorilor reale cu starea de referinţă, formează un sistem – tip balanţă – care este aplicat supapei pilot, şi care este folosit aproape în exclusivitate, datorită simplităţii sale. În figura 1.7 s-a prezentat schema acestui tip de control al presiunii, pentru care presiunea de referinţă (reprezentând intrarea în sistem) este preluată mecanic de arcul K3.
Schema este formată din următoarele elemente:
•    Pompa cu pistoane axiale cu cilindree variabilă;
•    Supapa proporţională care controlează cilindreea pompei;
•    Orificiul (diuză) cu  0,6 mm, pentru atenuare suplimentară, în sensul îmbunătăţirii caracteristicilor dinamice ale pompei;
•    Cilindrul hidraulic principal (1) pentru modificarea unghiului discului pendular;
•    Cilindrul hidraulic secundar cu arc, care reglează de asemenea poziţia discului pendular;
•    Discul pendular – conectat cu tijele pistoanelor celor doi cilindri hidraulici. Discul poate fi rotit cu ajutorul celor două pistoane, în jurul poziţiei centrale cu un unghi dat. Cele două pistoane împing cu o anumită forţă, funcţie de poziţia discului, respectiv de unghiul de reglaj. Forţa de apăsare este factorul determinant pentru volumul de lichid refulat al pompei. În cazul în care unghiul de reglaj este zero, forţa de apăsare şi volumul refulat al pompei sunt nule.

La supapa proporţională de control, presiunea de referinţă corespunde valorii xREF, unde xREF reprezintă pretensionarea arcului supapei proporţionale de control. Avem de-a face cu două situaţii:
a)    Cât timp presiunea de lucru pL este mai mică decât presiunea de referinţă care acţionează supapa proporţională de control, prin supapă nu circulă lichid. Acest lucru are ca rezultat faptul că nu există nici o presiune p1 care să acţioneze pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal. În acest caz unghiul discului pendular şi debitul pompei, QP, au valori maxime.
b)    Dacă presiunea de lucru pL este mai mare decât presiunea de referinţă care acţionează supapa proporţională de control, supapa începe să se deschidă, ceea ce duce la o curgere a lichidului , către aria (suprafaţa) A1 a pistonului cilindrului principal. Pe măsură ce presiunea creşte pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal, acesta se deplasează spre stânga ( x1 – deplasarea pistonului cilindrului principal) şi debitul pompei este redus proporţional cu această deplasare.

Orificiul , plasat între supapa proporţională şi cilindrul principal 1, atenuează oscilaţiile de presiune pe supapa proporţională şi are ca rezultat creşterea stabilităţii şi reducerea pierderilor de putere.

1.3.3. DATELE TEHNICE ALE
          POMPEI

Pentru simularea pe calculator a controlului presiunii şi pentru a examina comportarea statică şi dinamică a pompei, trebuie cunoscute datele tehnice ale pompei cu pistoane axiale cu cilindree variabilă. Presupunând o viteză de rotaţie constantă, debitul pompei va fi funcţie de unghi şi de presiune.
Dependenţa debitului QP de deplasarea (poziţia) x1 a pistonului cilindrului principal este liniară. Acest lucru poate fi exprimat prin relaţia următoare:
QP=CQ x1 – CPiP pL    (1.9)
unde (pentru pL=0) creşterea debitului pompei, notată CQ, este dată de relaţia:
 

(1.10)
şi (pentru unghi constant şi viteză constantă) coeficientul de pierderi interne dependent de presiune, notat CPiP este:
 

(1.11)

De obicei acest coeficient de pierderi interne este considerat constant. Acest lucru poate fi adevărat în anumite condiţii restrictive de lucru, dar nu poate reprezenta toate condiţiile de operare ale pompei, deoarece acestea se schimbă considerabil. Pentru o descriere adecvată a performanţelor reale trebuie considerată o dependenţă neliniară între pierderile de debit ale pompei şi presiune.

Experimental s-a determinat că aceste pierderi de debit au forma următoare:
 
(1.12)
unde, CPi este coeficientul de pierderi interne al pompei. De aceea, în locul ecuaţiei (1.9) se va folosi următoarea ecuaţie:
QP=CQ x1 –
(1.13)

Datele oferite de producător în figura 2.8 prezintă, dependenţa dintre presiune funcţie de debitul maxim.

Legenda figurii 1.8 este următoarea:
Q
    pentru n=1500 rpm
Q        pentru n=3000 rpm
PQmax        pentru n=1500 rpm
PQmin        pentru n=3000 rpm
PQzero        pentru n=1500 rpm
PQzero        pentru n=3000 rpm

Cât timp presiunea pL nu depăşeste presiunea de referinţă, nu trece volum de lichid prin supapa proporţională. Debitul QC este refulat pe conducta de presiune către consumator. Dacă presiunea pL este mai mică decât presiunea de referinţă, debitul pompei QP va fi egal cu cel din conducta de ieşire, adică:
QP= QC    (1.14)
Debitul prin conducta de ieşire, QC , este dat de relaţia următoare:
 

(1.15)
unde viteza de curgere a lichidului, vC , este considerată în primul punct al conductei de presiune (de refulare), respectiv la nivelul orificiului de refulare al pompei. Dacă presiunea pL depăşeşte valoarea de referinţă supapa proporţională se deschide şi există debit care trece prin supapă către suprafaţa A1 a cilindrului principal.
   
    Acest debit depinde de deplasarea x3 a pistonului supapei. Debitul care tranzitează supapa, QSP, este:
 

(1.16)
unde, sSP este coeficientul de curgere al supapei,  este densitatea uleiului, p1 presiunea în cilindrul principal , iar secţiunea de curgere a lichidului, ASP, este:
    

(1.17)
în care, R este raza, iar xR deplasarea la care debitul (curgerea) spre rezervor este întreruptă.

Supapa fiind proporţională, va exista de asemenea un debit de lichid, QSP-R, către rezervor, care depinde de deplasarea x3 a pistonului supapei.

Debitul, QSP-R , se calculează cu ajutorul relaţiei:
 

(1.18)
unde, sSP-R  este coeficientul de curgere de la supapă spre rezervor, iar secţiunea de curgere a lichidului, ASP-R , este dată de relaţia:
    

(1.19)

Pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal se exercită presiunea p1 . Orificiul (diuza) situat între supapa proporţională şi cilindrul principal este tranzitat de debitul QD către rezervor, debit dependent de valoarea presiunii p1:
 
(1.20)
unde, sD  este coeficientul de curgere al orificiului, iar AD aria orificiului.
   
    Încărcarea pistonului este dependentă pe de o parte de poziţia acestuia şi pe de altă parte de presiune. Această încărcare (forţă), dependentă de poziţia pistonului, este cauzată de forţele centrifuge care se exercită asupra cilindrului pistonului de către acesta.
   
    Distribuţia de presiune în legătură cu axele de deplasare ale pistoanelor pompei este asimetrică. Dacă se neglijează forţele de frecare, variaţia forţei de apăsare FA pentru o viteză de rotaţie constantă este dată de relaţia:
 
(1.21)
unde, fA este coeficient de poziţie dependent de FA , iar kA coeficient de presiune dependent de FA .

Conform figurii 1.7 presiunea pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal este influenţată de supapa proporţională de control. Presiunea de pompare în conjuncţie cu un arc relativ slab (al supapei proporţionale de control) acţionează pe aria mică a pistonului. Această metodă dă posibilitatea implementării unor viteze variate ale pistonului în ambele direcţii şi are pierderi mici în ceea ce priveşte stabilitatea.
   
    Pentru un bun control, supapa proporţională trebuie să nu aibă pierderi de presiune mari, să asigure o bună curgere (un debit ridicat), dar şi o valoare a debitului apropiată de zero la o valoare nulă a unghiului discului pendular.
   
    Întregul sistem de reglare trebuie să aibă o precizie ridicată (erori minime la ieşire); iar ajustările pompei trebuie să fie realizate cât mai rapid de îndată ce este detectată o eroare la ieşire. De asemenea este necesar un timp de răspuns cât mai mic.

Dacă supapa proporţională de control are un debit mare, aceasta ne duce la ajustări rapide ale pompei în cazul prezenţei la ieşire a erorilor.
Totuşi, apar probleme de stabilitate la unghi zero, chiar dacă supapa proporţională îndeplineşte aceste condiţii.

Creşterea debitului în “ zona zero” trebuie semnificativ scăzută prin măsuri de proiectare cu scopul de a creşte amortizarea.

    Creşterea debitului supapei corespunde “ punctului zero “ pe panta curbei caracteristice a pompei.

Creşterea presiunii prin supapă este foarte importantă pentru precizia în stare stabilă a buclei de control închise. Există o metodă de modificare a presiunii p1 pe piston, funcţie de starea supapei.

Creşterea presiunii din supapă cu cilindrul ataşat este determinantă pentru precizia controlului şi este redusă de pierderile din cilindru.

Presiunea mai poate fi redusă prin practicarea unui orificiu adiţional între supapa proporţională de control şi suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal, aflat în legătură cu rezervorul de ulei.

Mai există o amortizare suplimentară datorată frecărilor între părţile în mişcare, care reglează debitul pompei. Aceste părţi sunt: bobina supapei proporţionale de control, pistoanele cu suprafeţele A1 şi A2 şi discul pendular legat între cele două pistoane.

Forţa de frecare se opune mişcării părţilor mobile şi este formată din forţa de frecare a lui Columb FC (care e constantă şi nu depinde de viteza mişcării) şi forţa de frecare vâscoasă FV (care  depinde de viteza mişcării).

Aceste forţe sunt date de relaţiile:

 

(1.22)
 
(1.23)
unde, C este coeficientul de frecare al lui Columb, D este coeficientul de frecare vâscoasă, iar x poziţia pistonului.

1.3.4. MODELUL MATEMATIC

Întregul sistem este prezentat în figura 1.7. Debitul este proporţional cu turaţia la nivelul axului pompei şi cu cilindreea pompei.

Modificând poziţia discului pendular este posibilă variaţia continuă a debitului. Presiunile sunt notate cu pL şi respectiv p1 .

Facem următoarele presupuneri:

•    Presiunea lichidului pe conducta de retur (B) şi pe conducta de aspiraţie (S) a pompei este egală cu presiunea în rezervor (considerată egală cu presiunea atmosferică);

•    Presiunea atmosferică este neglijată deoarece este foarte mică comparativ cu presiunea de lucru;

•    Pulsaţiile de debit se consideră neglijabile comparativ cu cele de la descărcarea pompei.

Sistemul poate fi descris de ecuaţia diferenţială de continuitate, a creşterii de presiune în volume discrete, V :

 

(1.24)
în care, E este modulul de elasticitate al uleiului; (dacă există o variaţie a debitului, ea este inclusă în   ).

Acestei ecuaţii îi corepunde ecuaţia de mişcare:
 

(1.25)
unde m este masa.

Ecuaţia (1.24) este valabilă numai pentru volume V mici. Pentru elementele cu volum mic, ecuaţia dă soluţii precise.

Apar probleme în cazul elementelor mari, cum sunt: reţelele de conducte şi cilindri hidraulici mari, pentru care se alege metoda caracteristicilor pentru conducte de presiune în circuitul pompei.
Figura 1.9 arată modelul sistemului. Conducta de presiune are diametrul interior d=20 mm şi lungimea L=1000 mm. Pentru a obţine ecuaţiile diferenţiale care descriu curgerea lichidului prin conducta de presiune a modelului sistemului (fig. 1.9), vom scrie două ecuaţii de bază ale mecanicii fluidelor (este vorba despre legea a doua a lui Newton şi ecuaţia de continuitate).

 Variabilele dependente sunt presiunea p şi viteza medie a debitului v în secţiunea de curgere.

    Variabilele independente sunt distanţa x în lungul conductei, măsurată de la orificiul de refulare al pompei şi timpul t – rezultă  p=p(x,t), v=v(x,t).
   
    Ecuaţiile amintite mai sus se scriu:
 



(1.26)
unde,  este viteza undei de presiune,  este valoarea reală distinctă, dată de relaţia   şi f coeficientul de frecare în conductă.

Ecuaţia care este valabilă pe ramura pozitivă a caracteristicii este:
 

(1.27)

Ecuaţia care este valabilă pe ramura negativă a caracteristicii este:
 

(1.28)

Soluţia este extrasă din caracteristici, pornind de la condiţiile cunoscute la ieşirea din pompă şi de la punctul de intersecţie pentru care cunoaştem presiunea şi viteza.
Conducta este considerată a fi formată din n
diviziuni egale, iar presiunea şi viteza se consideră cunoscute pentru fiecare diviziune.

Soluţia poate fi extrasă din intersecţia caracteristicilor. Intervalul de timp de calcul este: .

Presiunea pC(i) şi viteza vC(i) sunt definite de relaţiile:

 


(1.29)
 



(1.30)

Cu n segmente sunt n1= n+1 secţiuni în lungul conductei. Ecuaţiile (1.29) şi (1.30) se folosesc într-o buclă de iteraţii pentru a rezolva vC(i) şi pC(i), pentru .

Condiţiile limită pentru ecuaţiile (1.27) şi (1.28) în diferite notaţii sunt apoi utilizate pentru a rezolva vC(1), pC(1) şi vC(n1),  pC(n1).
După obţinerea acestor valori, valorile v(i) şi p(i) sunt înlocuite cu valorile vC(i) şi pC(i), se incrementează timpul şi procedura se repetă.
La capătul conductei de presiune (amontele conductei; după orificiul de refulare al pompei), neglijând pierderile de presiune la intrare, condiţia limită este:
 

(1.31)

La capătul din aval al conductei de presiune, condiţia limită (când supapa de presiune nu este deschisă) este:
 
(1.32)

Pentru presiunea pL, în circuitul  de  refulare al pompei, putem scrie următoarea ecuaţie:

 



(1.33)
unde, Vcrp este volumul în circuitul de refulare al pompei, EC modulul de elasticitate al conductei, e grosimea conductei şi r raţia lui Poisson.

Pentru presiunea p1, care acţionează pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal, scriem următoarea ecuaţie:

 

(1.34)

Ecuaţia mişcării pentru deplasarea indusă,  , de către bobina de control a supapei (în care, indicele “3” al coficienţilor se referă la supapa proporţională de control), este:
 

(1.35)

Ecuaţia de mişcare a cilindrului principal şi implicit a discului pendular (în care, indicii “1” , “2” , “DP” ai coficienţilor  se referă la cilindrul principal, cilindrul secundar şi respectiv discul pendular); unde xDP reprezintă deplasarea discului pendular în lagărul de susţinere şi  , este:
 




1 (1.36)

Procedeul de simulare combină ecuaţiile diferenţiale (1.33)(1.36) cu ecuaţiile algebrice (1.29), (1.30) şi condiţiile limită (1.31), (1.32) cu ecuaţiile caracteristice (1.27), (1.28).

Ecuaţiile diferenţiale (1.33)(1.36) ale modelului matematic sunt rezolvate simultan prin metoda Runge-Kutta.

Această metodă este performantă în rezolvarea problemelor care descriu mişcări oscilatorii. Pentru conducta de presiune, soluţia este obţinută prin metoda caracteristicilor.

Amontele conductei de presiune este localizat la nivelul orificiului de refulare al pompei. În acel punct condiţia limită (1.31) şi ecuaţia (1.28) dau pC(1) şi vC(1). În avalul conductei, condiţia limită (1.32) şi ecuaţia (1.27) dau pC(n1) şi  vC(n1).

 Prin bucla de iteraţii, valorile v şi p sunt cunoscute pentru toate segmentele conductei de presiune, putând fi determinat cu uşurinţă debitul în conductă.

Ecuaţiile diferenţiale (1.33)(1.36) sunt rezolvate pentru noi condiţii, iar procedura de simulare se repetă.
Intervalul de timp  se află prin soluţii caracteristice. Este necesară o selecţie adecvată a numărului de segmente ale conductei pentru a avea un interval de timp suficient de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale.

1.3.5. CARACTERISTICA 
          DINAMICĂ. REZULTATE
          OBŢINUTE

Comportarea dinamică este prezentată sub forma unei funcţii de răspuns la intrările de referinţă şi la perturbaţii.

    Intrarea de refererinţă este xREF. Perturbaţiile se obţin prin închiderea şi deschiderea supapei de presiune între anumite valori a presiunii (vezi fig. 1.9). Aceasta înseamnă că au loc adesea schimbări ale debitului în conducta de presiune. Deci, perturbaţia se va referi la vC(1).

Caracteristica dinamică indicată de producător, în figura 1.10, este valabilă pentru următoarele condiţii:
    turaţia de antrenare a pompei =1500 rpm=ct.
    temperatura uleiului =50C
    presiunea maximă (de refulare a pompei) =315 bar
    paşii de încărcare se obţin închizând şi deschizând conducta de presiune cu o supapă de presiune situată la 1000 mm de orificiul de refulare al pompei (conform figurii 1.9).
În figura 2.10 , timpii de control sunt:
•    ts out (până la 50 bar):    60 ms
•    ts out (până la 220 bar):  30 ms
•     ts in  (până la 250 bar):  20 ms

    Rezultatele modelării şi simulării pentru caracteristicile dinamice de lucru ale sistemului sunt arătate în figurile 1.111.21, privind:
    pL – presiunea de refulare a pompei;
    p1 – presiunea în cilindrul principal;
    x1 – poziţia pistonului cilindrului          principal;
    x3 – poziţia bobinei supapei  proporţionale de control.

          Figura 1.11 arată presiunea şi  figura 1.12 arată poziţia pistoanelor pentru variaţia presiunii în conductă de la 250 220 bar. Presiunea de lucru scade pe măsură ce lichidul curge de la pompă spre conducta de presiune. Supapa de presiune de la capătul conductei de presiune este reglată să se deschidă la 220 bar. O dată cu scăderea presiunii, supapa de control se închide datorită forţei arcului. Lichidul de pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal trece către rezervor, astfel că presiunea p1 scade imediat la valoarea zero. Numai suprafaţa A2 a pistonului cilindrului secundar este afectată de presiunea pL şi de forţa arcului adiţional, astfel că pistonul este împins către poziţia corespunzătoare deplasării maxime. După 27 ms este atinsă deplasarea maximă.
   
     Figura 1.13 arată presiunea şi  figura 1.14 arată poziţia pistoanelor pentru variaţia presiunii în conductă de la 250 bar la 50 bar. Supapa de presiune este reglată să se deschidă la 50 bar. Funcţionarea sistemului e similară cu cea descrisă mai sus pentru figurile 1.11 şi 1.12. După 64 ms este atinsă deplasarea maximă, iar cilindreea pompei are valoare maximă.
   
    Figura 1.15 arată presiunea şi  figura 1.16 arată poziţia pistoanelor la o valoare a presiunii în conductă de 220 bar, iar supapa proporţională de control are arcul pretensionat la valoarea xREF, astfel că cilindreea pompei va fi minimă când presiunea de lucru va fi 250 bar. În acest caz, funcţionarea sistemului este inversată. Odată cu închiderea conductei de presiune, presiunea de lucru creşte semnificativ deoarece pompa furnizează o cantitate limitată de lichid.
   
     Figura 1.17 arată presiunea şi figura 1.18 arată poziţia pistoanelor când supapa de presiune închide brusc conducta de presiune la o valoare a presiunii de 50 bar ; cilindreea pompei este reglată prin intermediul supapei de control la valoare minimă, iar presiunea de lucru este 250 bar.
    Figura 1.19 arată presiunea şi  figura 1.20 arată poziţia pistoanelor când supapa de presiune închide brusc conducta de presiune la o valoare a presiunii de 50 bar;  cilindreea pompei este reglată la valoare minimă, iar presiunea de lucru este 100 bar. Funcţionarea sistemului e similară cu cea descrisă mai sus pentru figurile 1.15 şi 1.16. Oricum, se observă că, comportarea dinamică este mai bună dacă presiunea de reglare a pompei scade.
    Figura 1.21 arată presiunea de lucru pL într-o buclă de control închisă. Referinţa este pretensionarea arcului supapei proporţionale de control. Curba este liniară exceptând zona de joasă presiune. Plaja de reglare a presiunii de lucru este de la  20250 bar.
    Oscilaţiile sunt date de:
1. masa şi arcul, sisteme dinamice din interiorul schemei de reglare (fig. 1.7), şi
2. compresibilităţii lichidului şi materialului conductei, acestea fiind atenuate de forţa de frecare vâscoasă FV  şi de atenuarea (amortizarea) introdusă prin orificii. Aceasta explică motivul folosirii metodei Runge-Kutta, care dă rezultate performante în cazul aplicării ei, în problemele în care avem de-a face cu oscilaţii ale sistemului studiat. Este adevărat că regimurile tranzitorii sunt însoţite de oscilaţii, acest lucru rezultând din cele prezentate mai sus.
        Datele producătorului (figura 1.10) arată doar o mică parte a oscilaţiilor posibile; de exemplu alegerea timpilor ts out şi ts in .
Deoarece oscilaţiile de presiune şi cele ale poziţiei pistoanelor (după alegerea timpilor) sunt atenuate într-un timp relativ scurt (performanţele sistemului nefiind în general afectate), aceste oscilaţii nu au fost luate în consideraţie în graficul constructorului.

În concluzie putem afirma în legătură cu exemplul de modelare şi simulare prezentat, că principalele elemente care influenţează presiunea de refulare sunt: supapa proporţională de control şi suprafeţele A1 şi A2 ale pistoanelor cilindrilor. Aceste arii influenţează bucla închisă de control, şi prin urmare reglajul final. Valoarea x3 , care reprezintă deplasarea bobinei supapei proporţionale de control, conduce la o diferenţă de presiune importantă pentru reglarea presiunii de lucru pL . Reglarea este determinată de pretensionarea  xREF a arcului supapei proporţionale de control, care se opune mişcării datorate creşterii de presiune. Creşterea presiunii p1 se datorează deplasării x3 a bobinei supapei proporţionale de control; ( influenţează de asemenea reglajul sistemului).
Condiţiile de lucru sunt de maximă importanţă pentru comportamentul dinamic, aşa cum s-a arătat în figurile 1.19 şi 1.20, unde acest comportament dinamic este îmbunătăţit când presiunea de reglare descreşte.

NOTAŢII – Unităţi de măsură

A – aria secţiunii (m2)
C – coeficientul de frecare a lui Columb (N)
D – coeficientul de frecare vâscoasă (Ns/m)
d – diametrul interior al conductei (m)
E – modulul de elasticitate (N/m2)
e – grosimea peretelui conductei (m)
F – forţa (N)
f – coeficient de frecare pe conductă –
g – acceleraţia gravitaţională (m/s2)
K – coeficient de elasticitate (N/m)
L – lungimea conductei (m)
m – masa (kg)
n – coeficientul (raţia) lui Poisson –
p – presiunea (N/m2)
Q – debit (m3/s)
R – raza supapei de control şi a conductei de evacuare (m)
s – coeficient de curgere –
t – timpul (s)
V – volumul discret (m3)
v – viteza de curgere a uleiului (m/s)
x – poziţia pistonului (m)
 - viteza undei de presiune (m/s)
 - valoare reală discretă (Ns/m3)
 - densitatea uleiului (kg/m3)
CPi – coeficientul de pierderi interne al pompei (m5/Ns)
CQ – creşterea debitului pompei (m3/s/m)
CPiP – coeficientul de pierderi interne dependent de presiune (m5/Ns)
fA – coeficient de poziţie dependent de forţa de apăsare (N/m)
kA -  coeficient de presiune dependent de forţa de apăsare (m2)
xR – poziţia în care curgerea spre rezervor este întreruptă (m)
xREF – pretensionarea arcului bobinei supapei de control (m).
 
                                                      
BIBLIOGRAFIE:

1.    OPPELT W.    Tehnica reglării automate
New Jersey 1961
2.    GILLE J.G.
    Teoria şi calculul sistemelor de reglare automate
Ed. Tehnică, Bucureşti 1966
3.    MAZILU I.
VIRGIL L.
DIMA P.   
Sisteme hidraulice automate
Ed. Tehnică, Bucureşti 1987
4.    VIRGIL M.
ALEXANDRU M.    Sisteme hidraulice automate
Ed. Tehnică, Bucureşti 1987
5.    MERIN V.
MASCOVICI R.
TENESLAV D.   
Sisteme hidraulice de acţionare şi reglare automată
Ed. Tehnică, Bucureşti 1981




















rimentale ale caracteristicilor dinamice ale pompelor sunt considerate a fi cunoscute de la producător.

Pentru efectuarea analizei de faţă, vom folosi modelul matematic, al pompei cu pistoane axiale cu cilindree variabilă, cu controlul presiunii, utilizând pentru aceasta simularea pe calculator. Se examinează condiţiile de funcţionare ale pompei, şi rezultatele prezentate în caracteristicile dinamice de funcţionare sunt în concordanţă (rezonabilă) cu datele oferite de producător. În acelaşi fel se pot modela şi alte componente ale unui sistem hidraulic.

Mai mult, modelarea simultană a tuturor componentelor unui sistem hidraulic, poate descrie condiţiile dinamice de operare ale unui sistem hidraulic oricât de complex.


1.3.2. CONTROLUL PRESIUNII

În practică, controlul presiunii, prin compararea valorilor reale cu starea de referinţă, formează un sistem – tip balanţă – care este aplicat supapei pilot, şi care este folosit aproape în exclusivitate, datorită simplităţii sale. În figura 1.7 s-a prezentat schema acestui tip de control al presiunii, pentru care presiunea de referinţă (reprezentând intrarea în sistem) este preluată mecanic de arcul K3.
Schema este formată din următoarele elemente:
•    Pompa cu pistoane axiale cu cilindree variabilă;
•    Supapa proporţională care controlează cilindreea pompei;
•    Orificiul (diuză) cu  0,6 mm, pentru atenuare suplimentară, în sensul îmbunătăţirii caracteristicilor dinamice ale pompei;
•    Cilindrul hidraulic principal (1) pentru modificarea unghiului discului pendular;
•    Cilindrul hidraulic secundar cu arc, care reglează de asemenea poziţia discului pendular;
•    Discul pendular – conectat cu tijele pistoanelor celor doi cilindri hidraulici. Discul poate fi rotit cu ajutorul celor două pistoane, în jurul poziţiei centrale cu un unghi dat. Cele două pistoane împing cu o anumită forţă, funcţie de poziţia discului, respectiv de unghiul de reglaj. Forţa de apăsare este factorul determinant pentru volumul de lichid refulat al pompei. În cazul în care unghiul de reglaj este zero, forţa de apăsare şi volumul refulat al pompei sunt nule.

La supapa proporţională de control, presiunea de referinţă corespunde valorii xREF, unde xREF reprezintă pretensionarea arcului supapei proporţionale de control. Avem de-a face cu două situaţii:
a)    Cât timp presiunea de lucru pL este mai mică decât presiunea de referinţă care acţionează supapa proporţională de control, prin supapă nu circulă lichid. Acest lucru are ca rezultat faptul că nu există nici o presiune p1 care să acţioneze pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal. În acest caz unghiul discului pendular şi debitul pompei, QP, au valori maxime.
b)    Dacă presiunea de lucru pL este mai mare decât presiunea de referinţă care acţionează supapa proporţională de control, supapa începe să se deschidă, ceea ce duce la o curgere a lichidului , către aria (suprafaţa) A1 a pistonului cilindrului principal. Pe măsură ce presiunea creşte pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal, acesta se deplasează spre stânga ( x1 – deplasarea pistonului cilindrului principal) şi debitul pompei este redus proporţional cu această deplasare.

Orificiul , plasat între supapa proporţională şi cilindrul principal 1, atenuează oscilaţiile de presiune pe supapa proporţională şi are ca rezultat creşterea stabilităţii şi reducerea pierderilor de putere.

1.3.3. DATELE TEHNICE ALE
          POMPEI

Pentru simularea pe calculator a controlului presiunii şi pentru a examina comportarea statică şi dinamică a pompei, trebuie cunoscute datele tehnice ale pompei cu pistoane axiale cu cilindree variabilă. Presupunând o viteză de rotaţie constantă, debitul pompei va fi funcţie de unghi şi de presiune.
Dependenţa debitului QP de deplasarea (poziţia) x1 a pistonului cilindrului principal este liniară. Acest lucru poate fi exprimat prin relaţia următoare:
QP=CQ x1 – CPiP pL    (1.9)
unde (pentru pL=0) creşterea debitului pompei, notată CQ, este dată de relaţia:
 

(1.10)
şi (pentru unghi constant şi viteză constantă) coeficientul de pierderi interne dependent de presiune, notat CPiP este:
 

(1.11)

De obicei acest coeficient de pierderi interne este considerat constant. Acest lucru poate fi adevărat în anumite condiţii restrictive de lucru, dar nu poate reprezenta toate condiţiile de operare ale pompei, deoarece acestea se schimbă considerabil. Pentru o descriere adecvată a performanţelor reale trebuie considerată o dependenţă neliniară între pierderile de debit ale pompei şi presiune.

Experimental s-a determinat că aceste pierderi de debit au forma următoare:
 
(1.12)
unde, CPi este coeficientul de pierderi interne al pompei. De aceea, în locul ecuaţiei (1.9) se va folosi următoarea ecuaţie:
QP=CQ x1 –
(1.13)

Datele oferite de producător în figura 2.8 prezintă, dependenţa dintre presiune funcţie de debitul maxim.

Legenda figurii 1.8 este următoarea:
Q
    pentru n=1500 rpm
Q        pentru n=3000 rpm
PQmax        pentru n=1500 rpm
PQmin        pentru n=3000 rpm
PQzero        pentru n=1500 rpm
PQzero        pentru n=3000 rpm

Cât timp presiunea pL nu depăşeste presiunea de referinţă, nu trece volum de lichid prin supapa proporţională. Debitul QC este refulat pe conducta de presiune către consumator. Dacă presiunea pL este mai mică decât presiunea de referinţă, debitul pompei QP va fi egal cu cel din conducta de ieşire, adică:
QP= QC    (1.14)
Debitul prin conducta de ieşire, QC , este dat de relaţia următoare:
 

(1.15)
unde viteza de curgere a lichidului, vC , este considerată în primul punct al conductei de presiune (de refulare), respectiv la nivelul orificiului de refulare al pompei. Dacă presiunea pL depăşeşte valoarea de referinţă supapa proporţională se deschide şi există debit care trece prin supapă către suprafaţa A1 a cilindrului principal.
    
    Acest debit depinde de deplasarea x3 a pistonului supapei. Debitul care tranzitează supapa, QSP, este:
 

(1.16)
unde, sSP este coeficientul de curgere al supapei,  este densitatea uleiului, p1 presiunea în cilindrul principal , iar secţiunea de curgere a lichidului, ASP, este:
     

(1.17)
în care, R este raza, iar xR deplasarea la care debitul (curgerea) spre rezervor este întreruptă.

Supapa fiind proporţională, va exista de asemenea un debit de lichid, QSP-R, către rezervor, care depinde de deplasarea x3 a pistonului supapei.

Debitul, QSP-R , se calculează cu ajutorul relaţiei:
 

(1.18)
unde, sSP-R  este coeficientul de curgere de la supapă spre rezervor, iar secţiunea de curgere a lichidului, ASP-R , este dată de relaţia:
     

(1.19)

Pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal se exercită presiunea p1 . Orificiul (diuza) situat între supapa proporţională şi cilindrul principal este tranzitat de debitul QD către rezervor, debit dependent de valoarea presiunii p1:
 
(1.20)
unde, sD  este coeficientul de curgere al orificiului, iar AD aria orificiului.
    
    Încărcarea pistonului este dependentă pe de o parte de poziţia acestuia şi pe de altă parte de presiune. Această încărcare (forţă), dependentă de poziţia pistonului, este cauzată de forţele centrifuge care se exercită asupra cilindrului pistonului de către acesta.
    
    Distribuţia de presiune în legătură cu axele de deplasare ale pistoanelor pompei este asimetrică. Dacă se neglijează forţele de frecare, variaţia forţei de apăsare FA pentru o viteză de rotaţie constantă este dată de relaţia:
 
(1.21)
unde, fA este coeficient de poziţie dependent de FA , iar kA coeficient de presiune dependent de FA .

Conform figurii 1.7 presiunea pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal este influenţată de supapa proporţională de control. Presiunea de pompare în conjuncţie cu un arc relativ slab (al supapei proporţionale de control) acţionează pe aria mică a pistonului. Această metodă dă posibilitatea implementării unor viteze variate ale pistonului în ambele direcţii şi are pierderi mici în ceea ce priveşte stabilitatea.
    
    Pentru un bun control, supapa proporţională trebuie să nu aibă pierderi de presiune mari, să asigure o bună curgere (un debit ridicat), dar şi o valoare a debitului apropiată de zero la o valoare nulă a unghiului discului pendular.
    
    Întregul sistem de reglare trebuie să aibă o precizie ridicată (erori minime la ieşire); iar ajustările pompei trebuie să fie realizate cât mai rapid de îndată ce este detectată o eroare la ieşire. De asemenea este necesar un timp de răspuns cât mai mic.

Dacă supapa proporţională de control are un debit mare, aceasta ne duce la ajustări rapide ale pompei în cazul prezenţei la ieşire a erorilor.
Totuşi, apar probleme de stabilitate la unghi zero, chiar dacă supapa proporţională îndeplineşte aceste condiţii.

Creşterea debitului în “ zona zero” trebuie semnificativ scăzută prin măsuri de proiectare cu scopul de a creşte amortizarea.

    Creşterea debitului supapei corespunde “ punctului zero “ pe panta curbei caracteristice a pompei.

Creşterea presiunii prin supapă este foarte importantă pentru precizia în stare stabilă a buclei de control închise. Există o metodă de modificare a presiunii p1 pe piston, funcţie de starea supapei.

Creşterea presiunii din supapă cu cilindrul ataşat este determinantă pentru precizia controlului şi este redusă de pierderile din cilindru.

Presiunea mai poate fi redusă prin practicarea unui orificiu adiţional între supapa proporţională de control şi suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal, aflat în legătură cu rezervorul de ulei.

Mai există o amortizare suplimentară datorată frecărilor între părţile în mişcare, care reglează debitul pompei. Aceste părţi sunt: bobina supapei proporţionale de control, pistoanele cu suprafeţele A1 şi A2 şi discul pendular legat între cele două pistoane.

Forţa de frecare se opune mişcării părţilor mobile şi este formată din forţa de frecare a lui Columb FC (care e constantă şi nu depinde de viteza mişcării) şi forţa de frecare vâscoasă FV (care  depinde de viteza mişcării).

Aceste forţe sunt date de relaţiile:

 

(1.22)
 
(1.23)
unde, C este coeficientul de frecare al lui Columb, D este coeficientul de frecare vâscoasă, iar x poziţia pistonului.

1.3.4. MODELUL MATEMATIC

Întregul sistem este prezentat în figura 1.7. Debitul este proporţional cu turaţia la nivelul axului pompei şi cu cilindreea pompei.

Modificând poziţia discului pendular este posibilă variaţia continuă a debitului. Presiunile sunt notate cu pL şi respectiv p1 .

Facem următoarele presupuneri:

•    Presiunea lichidului pe conducta de retur (B) şi pe conducta de aspiraţie (S) a pompei este egală cu presiunea în rezervor (considerată egală cu presiunea atmosferică);

•    Presiunea atmosferică este neglijată deoarece este foarte mică comparativ cu presiunea de lucru;

•    Pulsaţiile de debit se consideră neglijabile comparativ cu cele de la descărcarea pompei.

Sistemul poate fi descris de ecuaţia diferenţială de continuitate, a creşterii de presiune în volume discrete, V :

 

(1.24)
în care, E este modulul de elasticitate al uleiului; (dacă există o variaţie a debitului, ea este inclusă în   ).

Acestei ecuaţii îi corepunde ecuaţia de mişcare:
 

(1.25)
unde m este masa.

Ecuaţia (1.24) este valabilă numai pentru volume V mici. Pentru elementele cu volum mic, ecuaţia dă soluţii precise.

Apar probleme în cazul elementelor mari, cum sunt: reţelele de conducte şi cilindri hidraulici mari, pentru care se alege metoda caracteristicilor pentru conducte de presiune în circuitul pompei.
Figura 1.9 arată modelul sistemului. Conducta de presiune are diametrul interior d=20 mm şi lungimea L=1000 mm. Pentru a obţine ecuaţiile diferenţiale care descriu curgerea lichidului prin conducta de presiune a modelului sistemului (fig. 1.9), vom scrie două ecuaţii de bază ale mecanicii fluidelor (este vorba despre legea a doua a lui Newton şi ecuaţia de continuitate).

 Variabilele dependente sunt presiunea p şi viteza medie a debitului v în secţiunea de curgere.

    Variabilele independente sunt distanţa x în lungul conductei, măsurată de la orificiul de refulare al pompei şi timpul t – rezultă  p=p(x,t), v=v(x,t).
    
    Ecuaţiile amintite mai sus se scriu:
 



(1.26)
unde,  este viteza undei de presiune,  este valoarea reală distinctă, dată de relaţia   şi f coeficientul de frecare în conductă.

Ecuaţia care este valabilă pe ramura pozitivă a caracteristicii este:
 

(1.27)

Ecuaţia care este valabilă pe ramura negativă a caracteristicii este:
 

(1.28)

Soluţia este extrasă din caracteristici, pornind de la condiţiile cunoscute la ieşirea din pompă şi de la punctul de intersecţie pentru care cunoaştem presiunea şi viteza.
Conducta este considerată a fi formată din n
diviziuni egale, iar presiunea şi viteza se consideră cunoscute pentru fiecare diviziune.

Soluţia poate fi extrasă din intersecţia caracteristicilor. Intervalul de timp de calcul este: .

Presiunea pC(i) şi viteza vC(i) sunt definite de relaţiile:

 


(1.29)
 



(1.30)

Cu n segmente sunt n1= n+1 secţiuni în lungul conductei. Ecuaţiile (1.29) şi (1.30) se folosesc într-o buclă de iteraţii pentru a rezolva vC(i) şi pC(i), pentru .

Condiţiile limită pentru ecuaţiile (1.27) şi (1.28) în diferite notaţii sunt apoi utilizate pentru a rezolva vC(1), pC(1) şi vC(n1),  pC(n1).
După obţinerea acestor valori, valorile v(i) şi p(i) sunt înlocuite cu valorile vC(i) şi pC(i), se incrementează timpul şi procedura se repetă.
La capătul conductei de presiune (amontele conductei; după orificiul de refulare al pompei), neglijând pierderile de presiune la intrare, condiţia limită este:
 

(1.31)

La capătul din aval al conductei de presiune, condiţia limită (când supapa de presiune nu este deschisă) este:
 
(1.32)

Pentru presiunea pL, în circuitul  de  refulare al pompei, putem scrie următoarea ecuaţie:

 



(1.33)
unde, Vcrp este volumul în circuitul de refulare al pompei, EC modulul de elasticitate al conductei, e grosimea conductei şi r raţia lui Poisson.

Pentru presiunea p1, care acţionează pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal, scriem următoarea ecuaţie:

 

(1.34)

Ecuaţia mişcării pentru deplasarea indusă,  , de către bobina de control a supapei (în care, indicele “3” al coficienţilor se referă la supapa proporţională de control), este:
 

(1.35)

Ecuaţia de mişcare a cilindrului principal şi implicit a discului pendular (în care, indicii “1” , “2” , “DP” ai coficienţilor  se referă la cilindrul principal, cilindrul secundar şi respectiv discul pendular); unde xDP reprezintă deplasarea discului pendular în lagărul de susţinere şi  , este:
 



(1.36)

Procedeul de simulare combină ecuaţiile diferenţiale (1.33)(1.36) cu ecuaţiile algebrice (1.29), (1.30) şi condiţiile limită (1.31), (1.32) cu ecuaţiile caracteristice (1.27), (1.28).

Ecuaţiile diferenţiale (1.33)(1.36) ale modelului matematic sunt rezolvate simultan prin metoda Runge-Kutta.

Această metodă este performantă în rezolvarea problemelor care descriu mişcări oscilatorii. Pentru conducta de presiune, soluţia este obţinută prin metoda caracteristicilor.

Amontele conductei de presiune este localizat la nivelul orificiului de refulare al pompei. În acel punct condiţia limită (1.31) şi ecuaţia (1.28) dau pC(1) şi vC(1). În avalul conductei, condiţia limită (1.32) şi ecuaţia (1.27) dau pC(n1) şi  vC(n1).

 Prin bucla de iteraţii, valorile v şi p sunt cunoscute pentru toate segmentele conductei de presiune, putând fi determinat cu uşurinţă debitul în conductă.

Ecuaţiile diferenţiale (1.33)(1.36) sunt rezolvate pentru noi condiţii, iar procedura de simulare se repetă.
Intervalul de timp  se află prin soluţii caracteristice. Este necesară o selecţie adecvată a numărului de segmente ale conductei pentru a avea un interval de timp suficient de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale.

1.3.5. CARACTERISTICA  
          DINAMICĂ. REZULTATE
          OBŢINUTE

Comportarea dinamică este prezentată sub forma unei funcţii de răspuns la intrările de referinţă şi la perturbaţii.

    Intrarea de refererinţă este xREF. Perturbaţiile se obţin prin închiderea şi deschiderea supapei de presiune între anumite valori a presiunii (vezi fig. 1.9). Aceasta înseamnă că au loc adesea schimbări ale debitului în conducta de presiune. Deci, perturbaţia se va referi la vC(1).

Caracteristica dinamică indicată de producător, în figura 1.10, este valabilă pentru următoarele condiţii:
    turaţia de antrenare a pompei =1500 rpm=ct.
    temperatura uleiului =50C
    presiunea maximă (de refulare a pompei) =315 bar
    paşii de încărcare se obţin închizând şi deschizând conducta de presiune cu o supapă de presiune situată la 1000 mm de orificiul de refulare al pompei (conform figurii 1.9).
În figura 2.10 , timpii de control sunt:
•    ts out (până la 50 bar):    60 ms
•    ts out (până la 220 bar):  30 ms
•     ts in  (până la 250 bar):  20 ms

    Rezultatele modelării şi simulării pentru caracteristicile dinamice de lucru ale sistemului sunt arătate în figurile 1.111.21, privind:
    pL – presiunea de refulare a pompei;
    p1 – presiunea în cilindrul principal;
    x1 – poziţia pistonului cilindrului          principal;
    x3 – poziţia bobinei supapei  proporţionale de control.

          Figura 1.11 arată presiunea şi  figura 1.12 arată poziţia pistoanelor pentru variaţia presiunii în conductă de la 250 220 bar. Presiunea de lucru scade pe măsură ce lichidul curge de la pompă spre conducta de presiune. Supapa de presiune de la capătul conductei de presiune este reglată să se deschidă la 220 bar. O dată cu scăderea presiunii, supapa de control se închide datorită forţei arcului. Lichidul de pe suprafaţa A1 a pistonului cilindrului principal trece către rezervor, astfel că presiunea p1 scade imediat la valoarea zero. Numai suprafaţa A2 a pistonului cilindrului secundar este afectată de presiunea pL şi de forţa arcului adiţional, astfel că pistonul este împins către poziţia corespunzătoare deplasării maxime. După 27 ms este atinsă deplasarea maximă.
    
     Figura 1.13 arată presiunea şi  figura 1.14 arată poziţia pistoanelor pentru variaţia presiunii în conductă de la 250 bar la 50 bar. Supapa de presiune este reglată să se deschidă la 50 bar. Funcţionarea sistemului e similară cu cea descrisă mai sus pentru figurile 1.11 şi 1.12. După 64 ms este atinsă deplasarea maximă, iar cilindreea pompei are valoare maximă.
    
    Figura 1.15 arată presiunea şi  figura 1.16 arată poziţia pistoanelor la o valoare a presiunii în conductă de 220 bar, iar supapa proporţională de control are arcul pretensionat la valoarea xREF, astfel că cilindreea pompei va fi minimă când presiunea de lucru va fi 250 bar. În acest caz, funcţionarea sistemului este inversată. Odată cu închiderea conductei de presiune, presiunea de lucru creşte semnificativ deoarece pompa furnizează o cantitate limitată de lichid.
    
     Figura 1.17 arată presiunea şi figura 1.18 arată poziţia pistoanelor când supapa de presiune închide brusc conducta de presiune la o valoare a presiunii de 50 bar ; cilindreea pompei este reglată prin intermediul supapei de control la valoare minimă, iar presiunea de lucru este 250 bar.
    Figura 1.19 arată presiunea şi  figura 1.20 arată poziţia pistoanelor când supapa de presiune închide brusc conducta de presiune la o valoare a presiunii de 50 bar;  cilindreea pompei este reglată la valoare minimă, iar presiunea de lucru este 100 bar. Funcţionarea sistemului e similară cu cea descrisă mai sus pentru figurile 1.15 şi 1.16. Oricum, se observă că, comportarea dinamică este mai bună dacă presiunea de reglare a pompei scade.
    Figura 1.21 arată presiunea de lucru pL într-o buclă de control închisă. Referinţa este pretensionarea arcului supapei proporţionale de control. Curba este liniară exceptând zona de joasă presiune. Plaja de reglare a presiunii de lucru este de la  20250 bar.
    Oscilaţiile sunt date de:
1. masa şi arcul, sisteme dinamice din interiorul schemei de reglare (fig. 1.7), şi
2. compresibilităţii lichidului şi materialului conductei, acestea fiind atenuate de forţa de frecare vâscoasă FV  şi de atenuarea (amortizarea) introdusă prin orificii. Aceasta explică motivul folosirii metodei Runge-Kutta, care dă rezultate performante în cazul aplicării ei, în problemele în care avem de-a face cu oscilaţii ale sistemului studiat. Este adevărat că regimurile tranzitorii sunt însoţite de oscilaţii, acest lucru rezultând din cele prezentate mai sus.
        Datele producătorului (figura 1.10) arată doar o mică parte a oscilaţiilor posibile; de exemplu alegerea timpilor ts out şi ts in .
Deoarece oscilaţiile de presiune şi cele ale poziţiei pistoanelor (după alegerea timpilor) sunt atenuate într-un timp relativ scurt (performanţele sistemului nefiind în general afectate), aceste oscilaţii nu au fost luate în consideraţie în graficul constructorului.

În concluzie putem afirma în legătură cu exemplul de modelare şi simulare prezentat, că principalele elemente care influenţează presiunea de refulare sunt: supapa proporţională de control şi suprafeţele A1 şi A2 ale pistoanelor cilindrilor. Aceste arii influenţează bucla închisă de control, şi prin urmare reglajul final. Valoarea x3 , care reprezintă deplasarea bobinei supapei proporţionale de control, conduce la o diferenţă de presiune importantă pentru reglarea presiunii de lucru pL . Reglarea este determinată de pretensionarea  xREF a arcului supapei proporţionale de control, care se opune mişcării datorate creşterii de presiune. Creşterea presiunii p1 se datorează deplasării x3 a bobinei supapei proporţionale de control; ( influenţează de asemenea reglajul sistemului).
Condiţiile de lucru sunt de maximă importanţă pentru comportamentul dinamic, aşa cum s-a arătat în figurile 1.19 şi 1.20, unde acest comportament dinamic este îmbunătăţit când presiunea de reglare descreşte.

NOTAŢII – Unităţi de măsură

A – aria secţiunii (m2)
C – coeficientul de frecare a lui Columb (N)
D – coeficientul de frecare vâscoasă (Ns/m)
d – diametrul interior al conductei (m)
E – modulul de elasticitate (N/m2)
e – grosimea peretelui conductei (m)
F – forţa (N)
f – coeficient de frecare pe conductă –
g – acceleraţia gravitaţională (m/s2)
K – coeficient de elasticitate (N/m)
L – lungimea conductei (m)
m – masa (kg)
n – coeficientul (raţia) lui Poisson –
p – presiunea (N/m2)
Q – debit (m3/s)
R – raza supapei de control şi a conductei de evacuare (m)
s – coeficient de curgere –
t – timpul (s)
V – volumul discret (m3)
v – viteza de curgere a uleiului (m/s)
x – poziţia pistonului (m)
 - viteza undei de presiune (m/s)
 - valoare reală discretă (Ns/m3)
 - densitatea uleiului (kg/m3)
CPi – coeficientul de pierderi interne al pompei (m5/Ns)
CQ – creşterea debitului pompei (m3/s/m)
CPiP – coeficientul de pierderi interne dependent de presiune (m5/Ns)
fA – coeficient de poziţie dependent de forţa de apăsare (N/m)
kA -  coeficient de presiune dependent de forţa de apăsare (m2)
xR – poziţia în care curgerea spre rezervor este întreruptă (m)
xREF – pretensionarea arcului bobinei supapei de control (m).
 
                                                       
BIBLIOGRAFIE:

1.    OPPELT W.    Tehnica reglării automate
New Jersey 1961
2.    GILLE J.G.
    Teoria şi calculul sistemelor de reglare automate
Ed. Tehnică, Bucureşti 1966
3.    MAZILU I.
VIRGIL L.
DIMA P.    
Sisteme hidraulice automate
Ed. Tehnică, Bucureşti 1987
4.    VIRGIL M.
ALEXANDRU M.    Sisteme hidraulice automate
Ed. Tehnică, Bucureşti 1987
5.    MERIN V.
MASCOVICI R.
TENESLAV D.    
Sisteme hidraulice de acţionare şi reglare automată
Ed. Tehnică, Bucureşti 1981